Domaine

Mon mémoire de DEA portait sur la cohomologie étale et les faisceaux pervers. La cohomologie étale des schémas est la théorie dans laquelle Pierre Deligne a pu démontrer, en 1973, la dernière des quatre célèbres conjectures d’André Weil. Quant à la catégorie des faisceaux pervers sur une variété X (algébrique, ou plus simplement une variété toplogique au sens usuel), c’est une sous-catégorie abélienne de la catégorie dérivée de la catégorie des faisceaux sur X. Cette catégorie est artinienne et noethérienne, et les faisceaux pervers simples se construisent de façon explicite.

Ces propriétés permettent certaines constructions importantes. Ce sont les faisceaux pervers, par exemple, qui permettent à George Lusztig de construire la base dite "canonique" de l’algèbre enveloppante associée à un groupe de Lie. Cette construction était l’objet d’étude de la thèse que j’avais commencée, avant de choisir finalement l’enseignement en classes prépas.

Actuellement, je reviens plutôt aux « fondamentaux  » de l’agèbre commutative pour comprendre plus en profondeur la géométrie algébrique (voir plus bas mes lectures mathématiques).

    Ecrits

Voici, au format pdf :

  Les notes (très succinctes) d’un exposé au séminaire de doctorants de Chevaleret (juin 2004) illustrant les suites spectrales.

  Un papier sur la convexité du domaine du plan délimité par un lacet dont la courbure ne s’annule pas (niveau prépa ou développement d’agrégation).

  Mon mémoire de magistère (2002) : résumé du cursus, et brève présentation des faisceaux pervers sur les variétés algébriques complexes.

  Mon mémoire de DEA sous la direction de Anne-Marie Aubert (2002) : faisceaux pervers en cohomologie étale des schémas.

  Un exposé au séminaire de mathématiques du lycée Clemenceau (Nantes), à partir d’un développement d’agrégation de Richard Antetomaso (2001) : corps non commutatifs et algèbres de matrices.

  Mon exposé de maîtrise avec Xavier Caruso, sous la direction de Yves Laszlo (2000) : Z est simplement connexe.

N’hésitez pas à me faire part de vos commentaires sur ces textes.

    Lectures

Voici quelques-unes de mes lectures (mathématiques) du moment, ou en projet, ou passées mais d’un intérêt notable.

Mon activité du moment est principalement de (ré)apprendre la géométrie algébrique, sous l’angle "théorie des schémas". Pour cela mes références sont :

  D.Eisenbud. Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Springer, New York, 1995.
  H.Matsumura. Commutative Algebra. Benjamin, New York, 1970.

La suite serait d’approfondir ma compréhension de la cohomologie étale, ce que devrait logiquement nécessiter un peu de cohomologie galoisienne. Sur la cohomologie étale, la référence :

  J.S.Milne. Étale cohomology. Princeton University Press, Princeton, 1980.

Le but ultime : comprendre la démonstration de la conjecture de Weil par Deligne , que j’ai déjà lue lors d’un stage à Budapest, grâce à l’aide de Tamás Szamuely. Cette démonstration est exposée dans l’article :

  P. Deligne. La conjecture de Weil I. Publications mathématiques de l’IHÉS, Paris, 1973.

Sur ces deux derniers sujets, un livre très bien écrit :

  E.Freitag, R.Kiehl. Étale cohomology and the Weil conjecture. Springer-Verlag, Berlin, 1988.

Pour ceux que les faisceaux pervers intriguent ou intéressent, je recommande l’ouvrage qui fait suite au précédent, et qui est de la même qualité :

  R.Kiehl, R.Weisauer. Weil conjecture, perverse sheaves and l’adic Fourier transform. Springer-Verlag, Berlin, 2001.

Sur la construction de bases canoniques par Lusztig :

  G.Lusztig. Introduction to quantum groups. Birkäuser, Boston, 1993.